Funzioni iperboliche della latitudine isometrica in termini delle funzioni circolari della latitudine geodetica

In questo articolo si deducono espressioni chiuse approssimate delle funzioni iperboliche tangente ( u tanh ) e secante ( u cosh 1 ) della latitudine isometrica ellissoidica u in termini delle funzioni circolari della latitudine geodetica ϕ e secondo le potenze pari dell’ eccen- tricità fino al 12-mo grado. Le espressioni sono dedotte mostrando l’ uguaglianza delle suddette funzioni iperboliche di u con le funzioni circolari della latitudine conforme ellissoidica, ed inserendo negli sviluppi in serie di Taylor di queste ultime l’ espressione (Crocetto et al., 2009) della differenza tra la latitudine conforme e la corrispondente latitudine geodetica. Si riportano esempi numerici per verificare che l’ accuratezza delle espressioni sia spinta fino all’ ordine della doppia precisione macchina eps con cui sono rappresentati ed elaborati i dati numerici in “Floating Point” nei moderni calcolatori elettronici dai vari linguaggi di programmazione e di calcolo. La forma polinomiale mista delle espressioni, oltre a risultare di contenuto costo computazionale, renderà possibile, in un prossimo lavoro, le loro inversioni al fine di dedurre sviluppi chiusi ap- prossimati ed accurati (fino alla doppia precisione eps) delle funzioni circolari di ϕ in termini di funzioni iperboliche della corrispondente u ; tali inversioni ed ulteriori elaborazioni avranno co- me obiettivo finale un nuovo metodo per il calcolo di coordinate cartografiche Gaussiane, con adeguata accuratezza e per singoli fusi geografici di elevata ampiezza in longitudine.